6. Building the Riemann Zeta Function

Recall that the series:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} $ $ c o n v e r g e s f o r == 1;; $ s > 1 $ b y t h e p - s e r i e s t e s t == . I n a d d i t i o n, i t d i v e r g e s f o r $ s = 1 $ . O u r g o a l n o w i s t o f i n d a n a n a l y t i c f u n c t i o n w h i c h c o n t i n u e s t h i s s e r i e s f o r $ s \in C $ . S u c h a c o n t i n u a t i o n w i l l b e c a l l e d t h e R i e m a n n Z e t a f u n c t i o n . F o r a n y v a l u e o f $ s $ a n d f o r $ n > 0 $, w e h a v e

n^s \underset{def}{=} e^{x\ln(n)}e^{i\ln(n)y}

W e m a y u s e t h i s a s o u r d e f i n i t i o n f o r $ n^{s} $, a n d u s e t h i s t o p r o v e t h a t t h e s e r i e s c o n v e r g e s a b s o l u t e l y f o r t h e r e a l p a r t o f $ R e (s) > 1 $ s i n c e t h e o r i g i n a l s e r i e s c o n v e r g e s . N o w w e s e e t h a t i f w e h a d d e f i n e d $ ζ (s) $, t h e n i t w o u l d s a t i s f y :

\Gamma(s)\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\left( \int z^{s-1}e^{-z}dz \right)}

W e c a n s h o w t h a t == 1;; $ \frac{1}{n^{s}} \int_{0}^{\infty} z^{s - 1} e^{- z} d z = \int_{0}^{\infty} z^{s - 1} e^{- n z} $ == a l s o b y i n t e g r a t i o n b y p a r t s, s o w e f u r t h e r s i m p l i f y t h e a b o v e e x p r e s s i o n :

=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^\infty z^{s-1}e^{-nz}dz

N o w w e b r i n g t h e s u m i n s i d e b y w i s h f u l t h i n k i n g, a n d u s e g e o m e t r i c s e r i e s f o r m u l a t o g e t :

=\int_{0}^\infty \frac{z^{s-1}e^{-z}}{1-e^{-z}}dz=\int_{0}^\infty \frac{z^{s-1}}{e^z-1}dz

U s i n g t h e r e s i d u e f o r m u l a a g a i n, w e c a n d e f i n e t h e z e t a f u n c t i o n :

\zeta(s)= \frac{1}{(e^{2\pi i s}-1)\Gamma(s)}\int_{0}^\infty \frac{z^{s-1}}{e^z-1}dz

R e c a l l t h a t t h i s f o r m u l a m a k e s s e n s e b e c a u s e $ Γ $ i s e n t i r e o n i t s d o m a i n, s e e t h e [[C o m p l e x A n a l y s i s / P a r t 4 - R e s i d u e s a n d R e s i d u e T h e o r e m / 5. B u i l d i n g t h e G a m m a f u n c t i o n ∥ t r i g o n o m e t r i c f o r m u l a]] . H e r e w e a r e a g a i n u s i n g t h e [[C o m p l e x A n a l y s i s / P a r t 4 - R e s i d u e s a n d R e s i d u e T h e o r e m / 3. T h e o r e m 2.4 .1 - R e s i d u e T h e o r e m ∥ R e s i d u e T h e o r e m]] . T h i s i s d e f i n e d a s l o n g a s $ R e (s) > 1 $ . B u t w e c a n a l s o f o r c e t h i s t o b e t h e d e f i n i t i o n f o r t h e e n t i r e r i g h t h a l f p l a n e, w i t h p o s s i b l e s i n g u l a r i t i e s w h e n $ (e^{2 π i s - 1}) Γ (s) $ i s n o t d e f i n e d . T h a t i s, a t t h e p o i n t s $ 1, 2, 3 \dots $ . B u t w e k n o w t h a t t h e z e t a f u n c t i o n i s d e f i n e d f o r $ s = 2, 3, \dots $, s o w e d o n^{'} t n e e d t o w o r r y a b o u t t h e s e p o i n t s W e c a n u s e o u r f o r m u l a t o s e e t h a t t h e z e t a f u n c t i o n h a s a s i m p l e p o l e w h e n $ s = 1 $ . N o w w e c o m p u t e $ ζ (1 - n) $ f o r $ n \in N $ . W e c a n m o v e s o m e t e r m s a r o u n d t o s e e t h a t :

\zeta(1-n)=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{2\pi i} \int_{C} \frac{z^{-n}}{e^{-z}-1}dz

N o w w e u s e t h e o d d f o r m u l a t h a t :

\frac{z}{e^{-z}-1}= -\frac{z}{2} +\sum_{{n=0}}^\infty \frac{b_{2n}}{(2n)!}z^

w h e r e $ b_{2 n} $ i s t h e $ 2 n $ t h B e r n o u l i n u m b e r a n d o b s e r v e t h a t w e c a n c o m p u t e t h e a b o v e i n t e g r a l w i t h t h e r e s i d u e t h e o r e m t o f i n d t h a t : $ ζ (0) = \frac{1}{2} $, $ ζ (1 - (2 m - 1)) = ζ (- 2 m) = 0 $ f o r a l l $ m > 0 $, a n d $ ζ (1 - 2 m) = \frac{(- 1) (2 m - 1)!}{(2 m)!} b_{2 n} $ . I w o n^{'} t g o t h r o u g h t h e s t e p s t o d e t e r m i n e R i e m a n n^{'} s f a m o u s f u n c t i o n a l e q u a t i o n f o r t h e $ ζ $ - f u n c t i o n, b u t i t a l l o w s u s t o e x t e n d t h e $ ζ $ - f u n c t i o n t o t h e e n t i r e l e f t h a l f p l a n e .

\zeta(1-s)=\frac{\zeta(s)}{2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin\left( \frac{\pi s}{2} \right)} \hspace{1in} Re(s)<0